Un grupo de matemáticos de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM), junto a su colega húngaro Imre Ruzsa, han resuelto un problema matemático que llevaba casi un siglo sin resolver. Se trata de encontrar conjuntos con el mayor número posible de elementos menores de una cantidad dada y en los que las sumas entre ellos no se repitan muchas veces. Este tipo de conjuntos, además de su interés teórico, también tiene aplicaciones en el radar, el sonar y las comunicaciones.
Seleccionemos los números 1, 3, 4, 6. Al realizar todas las posibles sumas de dos elementos, podemos ver que algunas de ellas se repiten, por ejemplo 1 + 6 = 3 + 4. Es fácil entender que cuanto más denso y numeroso sea nuestro conjunto, más difícil será evitar que haya sumas que se repitan muchas veces.
Los matemáticos están interesados en desvelar los misterios de los números naturales, algo en apariencia muy inocente pero de gran profundidad y dificultad.
Uno de los problemas más relevantes en esta teoría consiste en encontrar conjuntos con el mayor número posible de elementos, todos ellos menores que una cantidad dada, y en los que cada suma no se repita más de, digamos, 1.000 veces.
El problema se remonta a 1932, cuando Simon Sidon se lo planteó al joven estudiante Paul Erdös que quedó fascinado con la belleza del mismo y trabajó en él y en problemas relacionados durante mucho tiempo. Erdös fue uno de los matemáticos más prolíficos del siglo pasado y trabajó con cientos de colaboradores, hasta el punto de que en honor a él los matemáticos han establecido el “número de Erdös”: si alguien escribió un artículo con Erdös tiene número 1, si escribió un artículo con alguien que trabajó con Erdös tiene número 2, y así sucesivamente. Sorprendentemente, la mayoría de matemáticos tiene un número de Erdös muy bajito, casi todos tienen un número inferior a 8.
En un artículo de la revista Advances in Mathematics, el grupo de investigación en Teoría de los Números del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM), con la colaboración del matemático húngaro Imre Ruzsa, ha resuelto este problema que llevaba casi un siglo planteado y que había resistido el ataque de todos los matemáticos que se enfrentaron a él.
Este tipo de conjuntos, además de un gran interés teórico, tiene aplicaciones en el radar, el sonar y las comunicaciones. Los estudios y resultados anteriores se enmarcan dentro de una disciplina de gran actualidad en el mundo matemático, la “Combinatoria Aditiva”, campo en el que trabajan algunos de los mejores matemáticos del mundo, como Terence Tao, “niño prodigio de los números” que recibió en 2006 la Medalla Fields, considerada el Premio Nobel de las Matemáticas.
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Referencia bibliográfica:
Generalized Sidon Sets (with J. Cilleruelo and I. Z. Ruzsa), Advances in Mathematics 225, pp. 2786-2807 (2010).
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