Últimos avances en superficies con curvatura media constante

Rafael López Camino, catedrático de Geometría y Topología de la Universidad de Granada (UGR), ha publicado recientemente el libro Constant Mean Curvature Surfaces with Boundary en la serie Springer Monographs in Mathematics de la editorial Springer-Verlag, dedicada a monografías que recogen los últimos avances en aquellos campos relevantes de las matemáticas. Es el primer profesor español que lo consigue.

El tema central de la obra son las superficies con curvatura media constante, que son modelos matemáticos de interfases y fenómenos de capilaridad en condiciones de microgravedad. En entornos de microgravedad resulta de interés describir la forma geométrica de las interfases que separan dos fases diferentes o el menisco en experimentos de capilaridad.

Por la ecuación de Laplace, la interfase está caracterizada por la constancia de la curvatura media, es decir, la superficie está curvada de igual forma en todos los puntos de la misma. Por tanto, las superficies con curvatura media constante aparecen de forma natural como modelos en experimentos relacionados con fenómenos de mojado, microfluidos o capilaridad.

En su obra, López Camino explica cómo cualquiera puede construir y visualizar una superficie con curvatura media constante: "Cuando introducimos un trozo de alambre formando una curva cerrada en un recipiente que contiene una mezcla de agua y jabón, y después lo sacamos, se produce una película de jabón apoyada sobre el alambre. Esta superficie tiene la propiedad de tener la menor área de entre todas las posibles superficies que bordean dicho alambre".

"De la misma manera, cuando hacemos una pompa de jabón formándose una esfera, esta superficie es la que tiene menor área de entre todas las posibles superficies que encierran el mismo volumen de aire. Todas estas superficies tienen curvatura media constante". En estos ejemplos, la tensión superficial del líquido provoca que la película de jabón tienda a alcanzar un estado de mínima energía, que aquí es equivalente a tener mínima área superficial.

Experimentos con pompas de jabón

Rafael López compagina su faceta de investigador y docente con la de divulgador, y realiza habitualmente el taller Experimentos con pompas de jabón en las diversas actividades de divulgación que se realizan en la Facultad de Ciencias de la UGR. Este taller tiene como finalidad aproximar a toda persona, mediante sencillos experimentos con pompas y burbujas de jabón, a problemas geométricos que son fáciles de plantear pero difíciles de resolver matemáticamente.

Habitualmente, en el ámbito de la física y la química se presupone que las configuraciones geométricas de este tipo de superficies tienen alta simetría si las condiciones iniciales también las tienen. Sin embargo, desde el punto de vista teórico, la cuestión está lejos de ser resuelta.

“Podemos observar que cuando hacemos una pompa de jabón apoyada sobre un aro circular, y justo antes de que se desprenda completamente de dicho aro, la superficie formada es un casquete esférico. Sin embargo, hoy en día es un problema aun no resuelto el determinar todas las superficies con curvatura media constante con borde en una circunferencia y es interesante establecer condiciones que aseguren que, efectivamente, la superficie es un casquete esférico", destaca Rafael López.

Mientras que las superficies mínimas (curvatura cero) han sido tratadas en la literatura de forma extensiva, este libro es el primero que ofrece parte del panorama de la investigación reciente en superficies compactas con curvatura media constante, así como de las técnicas empleadas. En el libro se tratan cuestiones de cómo la geometría de la curva frontera determina la forma de la superficie que la bordea, un estudio de las estimaciones de cotas del área y del volumen de la superficie, condiciones de estabilidad o la cuestión de existencia del problema de Dirichlet.

Parte de los resultados que aparecen en la obra son del propio autor y algunos de ellos han sido publicados en revistas de matemáticas con un alto índice de impacto. El libro está destinado para graduados e investigadores del campo de la geometría diferencial, con especial interés en la teoría de superficies, incluyendo análisis geométrico y ecuaciones en derivadas parciales.