Investigadores del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y la Universidad Politécnica de Cataluña han logrado diseñar una construcción abstracta que simula, usando la dinámica de fluidos, cualquier máquina de Turing. El enfoque fue propuesto hace años para tratar de resolver uno de los problemas del milenio, el de las ecuaciones de Navier-Stokes.
Hace siete años el matemático australiano Terence Tao, galardonado con una medalla Fields, propuso un nuevo enfoque para resolver el famoso problema sobre las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes, que describen el movimiento de los fluidos.
La catedrática Eva Miranda de la Universidad Politécnica de Cataluña (UPC) vio la publicación en el blog de Tao y le llamó la atención, ya que en aquellos momentos estaba finalizando un trabajo con Daniel Peralta-Salas (ICMAT-CSIC) y Robert Cardona (BGSMath - UPC) sobre fluidos en espacios con frontera.
Ahora, estos tres autores, junto a Francisco Presas (ICMAT-CSIC), por primera vez han conseguido construir soluciones para un fluido capaz de simular cualquier máquina de Turing, motivados por el enfoque de Tao. El resultado se publica hoy en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS).
Una máquina de Turing es una construcción abstracta capaz de simular cualquier algoritmo. Recibe, como dato de entrada, una secuencia de ceros y unos y, tras un número de pasos, devuelve un resultado, también en forma de ceros y unos.
El fluido estudiado por los investigadores se puede considerar como una ‘máquina de agua’: toma como dato de entrada un punto del espacio, lo procesa –siguiendo la trayectoria del fluido por ese punto– y ofrece como resultado la siguiente región a la que se ha desplazado el fluido.
El resultado es un fluido incompresible y sin viscosidad –las ecuaciones de Navier-Stokes sí consideran la viscosidad– en dimensión tres. Es la primera vez que se consigue diseñar una máquina de agua.
Una de las consecuencias principales del resultado es que permite probar que ciertos fenómenos de la hidrodinámica son indecidibles (problemas sin un algoritmo que conduzca a una respuesta de sí o no correcta). Por ejemplo, si lanzamos un mensaje dentro de una botella, no podemos asegurar que llegue a su destinatario.
Algo parecido les ocurrió a los 29.000 patitos de goma que se cayeron de un carguero durante una tormenta y se perdieron en el océano en 1992: nadie pudo predecir dónde aparecerían. Es decir, no existe ningún algoritmo que permita asegurar si una partícula fluida pasará por cierta región del espacio en tiempo finito.
“Esta incapacidad de predicción, que es distinta a la que establece la teoría del caos, supone una nueva manifestación del comportamiento turbulento de los fluidos”, afirman los autores.
“En la teoría del caos la impredecibilidad está asociada a la extrema sensibilidad del sistema con las condiciones iniciales –el aleteo de una mariposa puede generar un tornado–, en este caso se va más allá: probamos que no puede haber ningún algoritmo que resuelva el problema, no es una limitación de nuestro conocimiento, sino de la propia lógica matemática”, destacan Peralta-Salas y Miranda, también profesora ICREA Academia, miembro del Centre de Recerca Matemàtica y del Observatorio de París.
Esto muestra la complejidad del comportamiento de los fluidos, que aparecen en diversos campos, desde la predicción del tiempo atmosférico hasta la dinámica en caudales y cascadas.
Sobre su relación con el problema de Navier-Stokes, incluido en la lista de los Problemas del Milenio de la Fundación Clay, los investigadores son cautelosos y aseguran que la propuesta de Tao “es, de momento, hipotética”, aseguran.
Su idea es usar un ordenador de agua para forzar al fluido para que acumule más y más energía en regiones cada vez más pequeñas, hasta que se forme una singularidad, es decir, un punto en el que la energía se haga infinita. La existencia o no de singularidades en las ecuaciones es, precisamente, el problema de Navier-Stokes.
Sin embargo, “de momento no se sabe hacer esto para las ecuaciones de Euler o Navier-Stokes”, afirman los científicos que han discutido sus resultados con Tao.
La máquina de agua de Cardona, Miranda, Peralta-Salas y Presas –la primera que existe–, está guiada por las ecuaciones de Euler pero sus soluciones no tienen singularidades. Para su diseño han sido clave diversas herramientas de geometría, topología y sistemas dinámicos desarrolladas en los últimos 30 años.
En concreto, se combina la geometría simpléctica y de contacto y la dinámica de fluidos, con la teoría de ciencias de la computación y la lógica matemática. “Nos ha costado más de un año entender como conectar los diversos cables de la demostración”, concluyen los autores.
Referencia:
R. Cardona et al. “Constructing Turing complete Euler flows in dimension 3”. PNAS 2021.
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